Matematika Berhingga Contoh

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$4 {(1)}^{3} - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 \cdot 1 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Langkah 4.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Langkah 4.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 - 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1 + 16$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$4 - 4 - 16 \cdot 1 + 16$

Langkah 4.1.5

Kalikan $- 16$ dengan $1$ .

$4 - 4 - 16 + 16$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$0 - 16 + 16$

Langkah 4.2.2

Kurangi $16$ dengan $0$ .

$- 16 + 16$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $- 16$ dan $16$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(4)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

	$4$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(4)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(4)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 4)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$	$0$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(0)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(0)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$	$- 16$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 16)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 16)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$	$0$

Langkah 6.9

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$4 x^{2} + 0 x - 16$

Langkah 6.10

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$4 x^{2} - 16$

Langkah 7

Faktorkan $4$ dari $4 x^{2} - 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{2}$ .

$(x - 1) (4 (x^{2}) - 16)$

Langkah 7.2

Faktorkan $4$ dari $- 16$ .

$(x - 1) (4 x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Langkah 7.3

Faktorkan $4$ dari $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$(x - 1) (4 (x^{2} - 4))$

Langkah 8

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$(x - 1) (4 (x^{2} - 2^{2}))$

Langkah 9

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$(x - 1) (4 ((x + 2) (x - 2)))$

Langkah 9.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 1) (4 (x + 2) (x - 2))$

Langkah 10

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 4 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Langkah 10.1.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) - 16 x + 16 = 0$

Langkah 10.1.3

Faktorkan $4$ dari $- 16 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16 = 0$

Langkah 10.1.4

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Langkah 10.1.5

Faktorkan $4$ dari $4 (x^{3}) + 4 (- x^{2})$ .

$4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Langkah 10.1.6

Faktorkan $4$ dari $4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4) = 0$

Langkah 10.1.7

Faktorkan $4$ dari $4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4)$ .

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Langkah 10.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$4 ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4) = 0$

Langkah 10.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$4 (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1)) = 0$

Langkah 10.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Langkah 10.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Langkah 10.5

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$4 ((x - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Langkah 10.5.1.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$4 ((x - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Langkah 10.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Langkah 11

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 12

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 12.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 13

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 13.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 14

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 14.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 15

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ benar.

$x = 1, - 2, 2$

Langkah 16